群的定义
#群的定义
集合G在某二元运算下成为群
其中要求（性质）
#群的性质
1、G在该运算下封闭（写成G * G -> G时就成立）
2、满足结合律(ab)c = a(bc) \quad \forall a,b,c \in G
3、存在单位元（幺元）e使得\forall g \in G \quad eg=ge=g
4、存在逆元g^{-1} 使得\forall g \in G,\exists g' \in G \quad gg'=g'g=e \quad g'记作g^{-1}
可验证每个群中单位元存在且只有一个，对于某个元素逆元存在且唯一
#单位元唯一
证明单位元的唯一性：
设存在两个单位元e_1, e_2
由于性质3,e_1,e_2 \in G
所以e_1=e_1e_2=e_2
即e_1=e_2
#逆元唯一
证明逆元的唯一性：
设a存在两个不同的逆元b,c,设a \in G
由性质4，ab=e,ca=e
有b=eb,e=ca
eb=(ca)b
由结合律
(ca)b=c(ab)
c(ab)=ce=c
即b=eb=(ca)b=c(ab)=ce=c
与两个不同的逆元冲突，假设不成立
故只有一个唯一确定的逆元
#消去律
群满足消去律ab=ac \Longrightarrow b=c
证明：设a的逆元为a'
等式两边同时乘以a'
即可得证
阿贝尔群
在群的定义下，约定
满足交换律，称这个群叫做阿贝尔群
群的阶数
阶数表示的是一个群中有多少个元素
记作|G|
群的举例
设有整数Z
在Z上定义a+b，可验证满足群性质
称作整数加法群，记作(Z,+)
整数不存在乘法群，因为0不存在逆元n使得$0*n=1$
有理数在加法下有加法群，不存在乘法群
但非零正整数下构成一个乘法群(Q^*,*)
模n同余类群
#模n同余类加法群
对于整数群G_0，找g_1,g_2满足\forall g_1,g_2 \in G_0
若满足g_1+g_2 \equiv g \pmod{n},\forall g \in G
则称G为加法下的模n同余类群
记作(Z/{nZ},+)
#模n同余类乘法群
首先定义乘法群，不能包含0这个元素
考虑模4乘法群中的元素
由于不能包含0这个元素，所以4肯定不能存在
再考虑2,$2*2=4,4% 4=0$
所以2也不能出现
故模4同余类乘法群记为
\{\overline{1},\overline{3}\}
推广至模n乘法群
考虑两种情况
1、n为质数时
由质数定义可知，n与小于自身大于0的数互质
即与n互质的数有n-1个
将与n互质的数并为一个集合，记作H_n
对于\forall h_1,h_2 \in H_n
均可写成h_1 = n - p_1,h_2=n - p_2
其中p_1,p_2 \in Z
由于$0<h_1,h_2 < n$
所以$0<p_1,p_2 < n,\quad p_1,p_2 \in Z^+$
所以h_1 * h_2 = (n - p_1)*(n - p_2)
展开，有n^2-n*(p_1+p_2)+p_1*p_2
由模运算，含有n的项均被消去
所以h_1*h_2=p_1*p_2 \pmod n
所以记群G为<\overline{1},H_n>
对于群G中任意元素，两两相乘模n后均不为0，故群存在且为模n同余类群，此时群的阶数为n
2、n不是质数时
n不是质数，即n是合数，由合数定义可知，n可以分解为多个质数的乘积的形式n=p_1^{a_1} p_2^{a_2} p_3^{a_3}*\cdots*p_n^{a_n}
设T_n为与n不互质的元素的集合
易证得，当且仅当群G中仅没有T_n中的元素时，G为一个模n同余类群
思路：任意的两个元素属于T_n，相乘后得到的新元素依旧属于T_n，直到构造出来恰好为n的值，模n后为0不满足定义，故得证。
（H_n \cup T_n = \{ G \}）
#欧拉定理
[[1.2 陪集与拉格朗日定理#欧拉定理]]
上述|H_n|=\varphi (n)
对称群
#对称群
设双射f将集合A中的元素映射到集合B上，若此时A=B，则f的所有可能映射组成了对称群，若集合A有n个元素，则对称群的阶数为 n!，对称群记作S_n
克莱因四元群
#四元群
克莱因（Klein）四元群
设集合H = \{ 1,a,b,ab \}
若满足a^2=1,b^2=1,ab=ba，求证H可以是一个群
按性质证明，此处
称H集合按照上述条件得到的群为克莱因四元群，记作K_4
四元数群
#四元数群